| 교수 | 김지수, jkim82133 [AT] snu [DOT] ac [DOT] kr |
| 조교 | 김보경, 김현규 |
| 수업시간 | 화, 목 11:00 - 12:15 |
| 수업장소 | 25동 210호 |
| 면담시간(교수) | 수 09:00 - 11:30 또는 약속 |
| 면담장소(교수) | 25동 335호 |
| 면담시간(조교) | 약속 |
| 면담장소(조교) | 25동 301호 |
| eTL | |
| 강의계획서 |
이 과목은 측도 이론(measure theory)에 기반한 확률론의 심화 과정으로, 확률론 1에서 학습한 기초 개념(대수의 법칙, 중심극한정리, 측도론 기초)을 바탕으로 보다 높은 수준의 이론과 응용을 다룬다. 강의 전반부에서는 조건부 기대(Conditional Expectation)와 마팅게일(Martingales) 이론을 집중적으로 학습하며, 둡 부등식(Doob Inequality), 마팅게일의 수렴, 선택적 정지 정리(Optional Stopping Theorem) 등을 익힌다. 후반부에는 확률론이 통계학 및 수학의 다양한 분야에서 어떻게 활용되는지를 다음과 같은 주제 중에서 선택하여 학습한다: Gaussian Process and Brownian Motion, Space of Probability Measures and Optimal Transport, Probability in High Dimension, Hausdorff measure and dimension, Random walk and Laplacian, Haar measure, Random Matrix Theory 등.
조건부 기대(Conditional Expectation)와 마팅게일(Martingale)을 접하고 이해한다.
확률 과정(Gaussian Process, Brownian Motion, Random Walk 등)을 접한다.
확률 측도가 기하학 및 대수학에 어떻게 연관되어 있는지 접해본다.
고차원 확률 및 랜덤 행렬 이론을 접해본다.
확률 이론을 통계적 이론 상황에 응용할 수 있다.
측도 이론(measure theory)의 기본적 개념, 최소한 측도(measure)와 적분(integration)의 수학적 정의 및 개념에 익숙해야 하며, 학부에서는 측도이론과 확률(M1407.002500), 실변수함수론(881.425), 대학원에서는 확률론 1(326.513), 실해석학(3341.503) 등과 같은 과목에서 다룬다.
선형사상, 기저, 차원 등 선형대수(linear algebra)의 기본 개념에 익숙해야 하며, 선형대수학 1(300.203A), 선형대수학(881.007) 등과 같은 과목에서 다룬다.
위의 필수과목들 외에 다음의 개념을 접해보면 좋으나 필수는 아니며, 수업에서 사용하는 개념들은 수업에서 정의한다.
다음 책을 교재로 사용한다.
그 외 다음 책들을 참고서적으로 사용할 수 있다.
David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991
Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science, Cambridge, 2018
Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability (2nd Edition), Springer, 2002
Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition), Wiley, 1999
Terence Tao, Topics in Random Matrix Theory, AMS, 2012 https://terrytao.wordpress.com/wp-content/uploads/2011/02/matrix-book.pdf
그 외에 각 주제에 맞춰서 참조하는 많은 참고문헌들이 있다.
아래의 일정표는 잠정적으로 작성한 것으로, 최신 일정표는 항상 홈페이지에서 확인한다.
| 날짜 | 주제 | 비고 |
|---|---|---|
| 1주 (9/2, 9/4) | Introduction, Probability 1 Review | |
| 2주 (9/9, 9/11) | Probability 1 Review, Conditional Expectation | |
| 3주 (9/16, 9/18) | Martingales | |
| 4주 (9/23, 9/25) | Doob’s Inequality, Convergence in \(L^{p}\) | 과제1 마감 (9/26) |
| 5주 (9/30, 10/2) | Uniform Integrability, Convergence in \(L^{1}\) | |
| 6주 | 추석 연휴 | |
| 7주 (10/14, 10/16) | Optional Stopping Theorems | 과제 2 마감 (10/17) |
| 8주 (10/21, 10/23) | Selected Topics | 중간고사 (10/24) |
| 9주 (10/28, 10/30) | Selected Topics | |
| 10주 (11/4, 11/6) | Selected Topics | |
| 11주 (11/11, 11/13) | Selected Topics | 과제3 마감 (11/14) |
| 12주 (11/18, 11/20) | Selected Topics | |
| 13주 (11/25, 11/27) | Selected Topics | |
| 14주 (12/2, 12/4) | Selected Topics | 과제4 마감 (12/5) |
| 15주 (12/9, 12/11) | Selected Topics | 기말고사 (12/12) |
조건부 기대값(Conditional Expectation)과 마팅게일(Martingales)을 다룬 후에는 확률론에 관한 여러 주제들 중 선택해서 다룬다. 다음의 주제들 중에 선택해서 다루거나, 또는 학생들이 희망하는 주제를 다룬다.
Gaussian Process and Brownian Motion
Space of Probability Measures and Optimal Transport
Probability in High Dimension: Concentration of Measure
Probability and Geometry: Hausdorff measure and Hausdorff dimension
Probability and Algebra / Geometry: Random Walk, Laplacian, and relation to Algebra / Geometry of Spaces
Probability and Algebra / Geometry: Probability and Group Action, Haar measure
Random Matrix Theory